wie man die Dimension eines Unterraums findet


Antwort 1:

Beginnen wir mit den Grundlagen.

Was ist eine Basis für einen Vektorraum? Eine Basis ist ein Satz linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum überspannen. (In diesem Fall sind die "Vektoren" Funktionen.) Offensichtlich haben wir die Span-Anforderung bereits erfüllt, da wir den Vektorraum implizit als die Spanne dieser Vektoren definieren. Daher bleibt nur noch eine linear unabhängige Teilmenge dieser Menge von Vektoren zu finden. Wir können alle Vektoren entfernen, die sich nicht in der linear unabhängigen Teilmenge befinden, ohne die Spanne der Menge zu ändern, was zu einer Basis für den Raum führt.

Was ist lineare Unabhängigkeit? Wir sagen, dass eine Menge von Vektoren \ {v_1, v_2, \ dots, v_n \} linear unabhängig ist, wenn c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ dots + c_n v_n = 0 impliziert, dass c_1 = c_2 = \ dots = c_n = 0. In Mit anderen Worten, wenn einer der Vektoren in der Menge eine lineare Kombination der anderen Vektoren in der Menge ist, besteht eine lineare Abhängigkeit (und daher sind die Vektoren nicht linear unabhängig).

Untersuche unser Set. Das zweifache Erscheinungsbild der Protokollfunktion ist sehr verdächtig.

Unter Verwendung einiger Protokollidentitäten sehen wir, dass \ log (2t) = \ log 2 + \ log t = \ log (2) 1 + \ frac {1} {3} \ log (t ^ 3). Daher ist \ log (2t) eine lineare Kombination der beiden anderen Vektoren in der Menge, sodass wir sie löschen können.

Nun zu den beiden anderen Vektoren. Aus unserer vorherigen Definition folgt, dass zwei Vektoren linear abhängig sind, wenn jeder ein konstantes Vielfaches des anderen ist. Dies ist bei 1 und \ log (t ^ 3) nicht der Fall, daher sind die beiden linear unabhängig. Daher ist unsere Basis \ {1, \ log (t ^ 3) \}.

Es ist jedoch erwähnenswert, dass es unendlich viele mögliche Basen gibt. Wir hätten jeden der beiden anderen Vektoren eliminieren können. Wir könnten unsere beiden resultierenden Vektoren auch mit beliebigen Konstanten (ungleich Null) skalieren, und dies wäre immer noch eine Basis. Wichtig ist, dass die Vektoren in der Menge linear unabhängig sind.

Toll! Wie finden wir nun die Dimension? Glücklicherweise folgt dies trivial aus der Basis. Die Dimension ist nur die Anzahl der Vektoren in der Basis, also in unserem Fall 2. Jede Basis für diesen Unterraum enthält genau zwei Vektoren.